Xv Х2, ..., Хп. Вид функции Z = ср (Хр Х2, ..., XJ и ее
(Эконометрика)

х с плотностью распределения рх. Другая случайная величина у у

Ожидаемые и воображаемые случайности в международных отношениях

Случай - псевдоним Бога, когда он не хочет подписаться своим собственным именем. Анатоль Франс В теории международных отношений прочно закрепилось представление об их системном характере. Обнаружение отличий в проявлении важнейших системных признаков дало возможность выстроить историю международных...
(Социология воображения международных отношений)

Определение числовых характеристик функций случайных аргументов

Рассмотрим задачу определения числовых характеристик функций случайных аргументов в следующей постановке. Случайная величина Z является функцией системы случайных аргументов Xv Х2, ..., Хп. Вид функции Z = ср (Хр Х2, ..., XJ и ее параметры известны, а числовые характеристики...
(Эконометрика)

Законы распределения функций случайных аргументов

Имеется непрерывная случайная величина х с плотностью распределения рх. Другая случайная величина у связана с нею функциональной зависимостью Плотность распределения величины у в случае монотонной функции / согласно определяется следующим образом: где /_1...
(Численный вероятностный анализ неопределенных данных)

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ РЕДУКЦИЕЙ ОБЛАСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ

МЕТОД СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ РЕДУКЦИЕЙ ОБЛАСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ Описание стратегии поиска глобального экстремума Метод случайного поиска глобального экстремума с последовательной редукцией области исследования, метод Лууса- Яакола (Luus- Jakola, LJ), применим к решению задачи...
(Метаэвристические алгоритмы поиска оптимального программного управления)

Определение функции случайных величин. Функция дискретного случайного аргумента и ее числовые характеристики. Функция непрерывного случайного аргумента и ее числовые характеристики. Функции двух случайных аргументов. Определение функции распределения вероятностей и плотности для функции двух случайных аргументов.

Закон распределения вероятностей функции одной случайной величины

При решении задач, связанных с оценкой точности работы различных автоматических систем, точности производства отдельных элементов систем и др., часто приходится рассматривать функции одной или нескольких случайных величин. Такие функции также являются случайными величинами. Поэтому при решении задач необходимо знать законы распределения фигурирующих в задаче случайных величин. При этом обычно известны закон распределения системы случайных аргументов и функциональная зависимость.

Таким образом, возникает задача, которую можно сформулировать так.

Дана система случайных величин (X_1,X_2,\ldots,X_n) , закон распределения которой известен. Рассматривается некоторая случайная величина Y как функция данных случайных величин:

Y=\varphi(X_1,X_2,\ldots,X_n).

Требуется определить закон распределения случайной величины Y , зная вид функций (6.1) и закон совместного распределения ее аргументов.

Рассмотрим задачу о законе распределения функции одного случайного аргумента

Y=\varphi(X).

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline{X}&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline{P}&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end{array}

Тогда Y=\varphi(X) также дискретная случайная величина с возможными значениями . Если все значения y_1,y_2,\ldots,y_n различны, то для каждого k=1,2,\ldots,n события \{X=x_k\} и \{Y=y_k=\varphi(x_k)\} тождественны. Следовательно,

P\{Y=y_k\}=P\{X=x_k\}=p_k

и искомый ряд распределения имеет вид

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline{Y}&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi(x_n)\\\hline{P}&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end{array}

Если же среди чисел y_1=\varphi(x_1),y_2=\varphi(x_2),\ldots,y_n=\varphi(x_n) есть одинаковые, то каждой группе одинаковых значений y_k=\varphi(x_k) нужно отвести в таблице один столбец и соответствующие вероятности сложить.

Для непрерывных случайных величин задача ставится так: зная плотность распределения f(x) случайной величины X , найти плотность распределения g(y) случайной величины Y=\varphi(X) . При решении поставленной задачи рассмотрим два случая.

Предположим сначала, что функция y=\varphi(x) является монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой на интервале (a;b) , на котором лежат все возможные значения величины X . Тогда обратная функция x=\psi(y) существует, при этом являясь также монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой. В этом случае получаем

G(y)=f\bigl(\psi(y)\bigr)\cdot |\psi"(y)|.

Пример 1. Случайная величина X распределена с плотностью

F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}

Найти закон распределения случайной величины Y , связанной с величиной X зависимостью Y=X^3 .

Решение. Так как функция y=x^3 монотонна на промежутке (-\infty;+\infty) , то можно применить формулу (6.2). Обратная функция по отношению к функции \varphi(x)=x^3 есть \psi(y)=\sqrt{y} , ее производная \psi"(y)=\frac{1}{3\sqrt{y^2}} . Следовательно,

G(y)=\frac{1}{3\sqrt{2\pi}}e^{-\sqrt{y^2}/2}\frac{1}{\sqrt{y^2}}

Рассмотрим случай немонотонной функции. Пусть функция y=\varphi(x) такова, что обратная функция x=\psi(y) неоднозначна, т. е. одному значению величины y соответствует несколько значений аргумента x , которые обозначим x_1=\psi_1(y),x_2=\psi_2(y),\ldots,x_n=\psi_n(y) , где n - число участков, на которых функция y=\varphi(x) изменяется монотонно. Тогда

G(y)=\sum\limits_{k=1}^{n}f\bigl(\psi_k(y)\bigr)\cdot |\psi"_k(y)|.

Пример 2. В условиях примера 1 найти распределение случайной величины Y=X^2 .

Решение. Обратная функция x=\psi(y) неоднозначна. Одному значению аргумента y соответствуют два значения функции x

Применяя формулу (6.3), получаем:

\begin{gathered}g(y)=f(\psi_1(y))|\psi"_1(y)|+f(\psi_2(y))|\psi"_2(y)|=\\\\=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\left(-\sqrt{y^2}\right)^2/2}\!\left|-\frac{1}{2\sqrt{y}}\right|+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\left(\sqrt{y^2}\right)^2/2}\!\left|\frac{1}{2\sqrt{y}}\right|=\frac{1}{\sqrt{2\pi{y}}}\,e^{-y/2}.\end{gathered}

Закон распределения функции двух случайных величин

Пусть случайная величина Y является функцией двух случайных величин, образующих систему (X_1;X_2) , т. е. Y=\varphi(X_1;X_2) . Задача состоит в том, чтобы по известному распределению системы (X_1;X_2) найти распределение случайной величины Y .

Пусть f(x_1;x_2) - плотность распределения системы случайных величин (X_1;X_2) . Введем в рассмотрение новую величину Y_1 , равную X_1 , и рассмотрим систему уравнений

Будем полагать, что эта система однозначно разрешима относительно x_1,x_2

и удовлетворяет условиям дифференцируемости.

Плотность распределения случайной величины Y

G_1(y)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x_1;\psi(y;x_1))\!\left|\frac{\partial\psi(y;x_1)}{\partial{y}}\right|dx_1.

Заметим, что рассуждения не изменяются, если введенную новую величину Y_1 положить равной X_2 .

Математическое ожидание функции случайных величин

На практике часто встречаются случаи, когда нет особой надобности полностью определять закон распределения функции случайных величин, а достаточно только указать его числовые характеристики. Таким образом, возникает задача определения числовых характеристик функций случайных величин помимо законов распределения этих функций.

Пусть случайная величина Y является функцией случайного аргумента X с заданным законом распределения

Y=\varphi(X).

Требуется, не находя закона распределения величины Y , определить ее математическое ожидание

M(Y)=M[\varphi(X)].

Пусть X - дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline{x_i}&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline{p_i}&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end{array}

Составим таблицу значений величины Y и вероятностей этих значений:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline{y_i=\varphi(x_i)}&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi(x_n)\\\hline{p_i}&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end{array}

Эта таблица не является рядом распределения случайной величины Y , так как в общем случае некоторые из значений могут совпадать между собой и значения в верхней строке не обязательно идут в возрастающем порядке. Однако математическое ожидание случайной величины Y можно определить по формуле

M[\varphi(X)]=\sum\limits_{i=1}^{n}\varphi(x_i)p_i,

так как величина, определяемая формулой (6.4), не может измениться от того, что под знаком суммы некоторые члены будут заранее объединены, а порядок членов изменен.

Формула (6.4) не содержит в явном виде закон распределения самой функции \varphi(X) , а содержит только закон распределения аргумента X . Таким образом, для определения математического ожидания функции Y=\varphi(X) вовсе не требуется знать закон распределения функции \varphi(X) , а достаточно знать закон распределения аргумента X .

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле

M[\varphi(X)]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)f(x)\,dx,

где f(x) - плотность распределения вероятностей случайной величины X .

Рассмотрим случаи, когда для нахождения математического ожидания функции случайных аргументов не требуется знание даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики. Сформулируем эти случаи в виде теорем.

Теорема 6.1. Математическое ожидание суммы как зависимых, так и независимых двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Теорема 6.2. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:

M(XY)=M(X)M(Y)+\mu_{xy}.

Следствие 6.1. Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Следствие 6.2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Дисперсия функции случайных величин

По определению дисперсии имеем D[Y]=M[(Y-M(Y))^2]. . Следовательно,

D[\varphi(x)]=M[(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2] , где .

Приведем расчетные формулы только для случая непрерывных случайных аргументов. Для функции одного случайного аргумента Y=\varphi(X) дисперсия выражается формулой

D[\varphi(x)]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2f(x)\,dx,

где M(\varphi(x))=M[\varphi(X)] - математическое ожидание функции \varphi(X) ; f(x) - плотность распределения величины X .

Формулу (6.5) можно заменить на следующую:

D[\varphi(x)]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi^2(x)f(x)\,dx-M^2(X)

Рассмотрим теоремы о дисперсиях , которые играют важную роль в теории вероятностей и ее приложениях.

Теорема 6.3. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий этих величин плюс удвоенная сумма корреляционных моментов каждой из слагаемых величин со всеми последующими:

D\!\left[\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right]=\sum\limits_{i=1}^{n}D+2\sum\limits_{i

Следствие 6.3. Дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

D\!\left[\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right]=\sum\limits_{i=1}^{n}D \mu_{y_1y_2}= M(Y_1Y_2)-M(Y_1)M(Y_2).

\mu_{y_1y_2}=M(\varphi_1(X)\varphi_2(X))-M(\varphi_1(X))M(\varphi_2(X)).

т. е. корреляционный момент двух функций случайных величин равен математическому ожиданию произведения этих функций минус произведение из математических ожиданий.

Рассмотрим основные свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции .

Свойство 1. От прибавления к случайным величинам постоянных величин корреляционный момент и коэффициент корреляции не изменяются.

Свойство 2. Для любых случайных величин X и Y абсолютная величина корреляционного момента не превосходит среднего геометрического дисперсий данных величин:

|\mu_{xy}|\leqslant\sqrt{D[X]\cdot D[Y]}=\sigma_x\cdot \sigma_y,

аргумент величина квадрат отклонение распределение

Начнем с рассмотрения наиболее простой задачи о законе распределения функции одного случайного аргумента. Так как для практики наибольшее значение имеют непрерывные случайные величины, будем решать задачу именно для них.

Имеется непрерывная случайная величина X с плотностью распределения f(x). Другая случайная величина Y связана с нею функциональной зависимостью: .

Требуется найти плотность распределения величины Y. Рассмотрим участок оси абсцисс, на котором лежат все возможные значения величины X, т. е. .

Способ решения поставленной задачи зависит от поведения функции на участке: является ли она монотонной или нет.

В данном параграфе мы рассмотрим случай, когда функция на участке монотонна. При этом отдельно проанализируем два случая: монотонного возрастания и монотонного убывания функции.

1. Функция на участке монотонно возрастает (рис. 6.1.1). Когда величина X принимает различные значения на участке, случайная точка (X, Y) перемещается только по кривой; ордината этой случайной точки полностью определяется ее абсциссой.

Обозначим плотность распределения величины Y. Для того чтобы определить, найдем сначала функцию распределения величины Y: .

Проведем прямую АВ, параллельную оси абсцисс на расстоянии y от нее (рис. 1). Чтобы выполнялось условие, случайная точка (X,Y) должна попасть на тот участок кривой, который лежит ниже прямой АВ; для этого необходимо и достаточно, чтобы случайная величина X попала на участок оси абсцисс от a до x, где x - абсцисса точки пересечения кривой и прямой АВ. Следовательно,

Так, как монотонная на участке, то существует обратная однозначная функция. Тогда

Дифференцируя интеграл (2) по переменной у, входящей в верхний предел, получим:

2. Функция на участке монотонно убывает (рис. 2). В этом случае

Сравнивая формулы (3) и (5), замечаем, что они могут быть объединены в одну:

Действительно, когда возрастает, ее производная (а значит, и) положительна. При убывающей функции производная отрицательна, но зато перед ней в формуле (5) стоит минус. Следовательно, формула (6), в которой производная берется по модулю, верна в обоих случаях.

3. Рассмотрим случай, когда функция на участке возможных значений аргумента не монотонна (рис. 3).

Найдем функцию распределения G(y) величины Y. Для этого снова проведем прямую АВ, параллельную оси абсцисс, на расстоянии у от нее и выделим те участки кривой, на которых выполняется условие. Пусть этим участкам соответствуют участки оси абсцисс: .

Событие равносильно попаданию случайной величины X на один из участков - безразлично, на какой именно. Поэтому

Таким образом, для функции распределения величины имеем формулу:

Границы интервалов зависят от у и при заданном конкретном виде функции могут быть выражены как явные функции у. Дифференцируя G(y) по величине у, входящей в пределы интегралов, получим плотность распределения величины Y:

Пример. Величина X подчинена закону равномерной плотности на участке отдо.

Найти закон распределения величины.

ЧАСТЬ 6

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 11

1. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих при этом задач; вывести закон распределения функции одного случайного аргумента и закон распределения суммы двух случайных величин; пояснить понятие композиции законов распределения.

Понятие о функции случайной величины

Среди практических приложений теории вероятностей особое место занимают задачи, требующие нахождения законов распределения и/или числовых характеристик функций случайных величин. В простейшем случае задача ставится следующим образом: на вход технического устройства поступает случайное воздействие
; устройство подвергает воздействие
некоторому функциональному преобразованиюи на выходе дает случайную величину
(см. рис. 6.1). Нам известен закон распределения случайной величины
, и требуется найти закон распределения и/или числовые характеристики случайной величины.

Можно выделить три основные возникающие задачи:

1. Зная закон распределения случайной величины
(или случайного вектора
), найти закон распределения выходной случайной величины
(или
).

2. Зная закон распределения случайной величины
, найти только числовые характеристики выходной случайной величины.

3. В некоторых случаях (при особых видах преобразования ) для нахождения числовых характеристик выхода не требуется знать закон распределения входной случайной величины
, а достаточно знать только его числовые характеристики.

Рассматриваем случайную величину , зависящую функционально от случайной величины
, т. е.
. Пусть случайная величина
дискретна и известен ее ряд распределения:

где
.

При подаче на вход значения случайной величины
на выходе получим
с вероятностью. И так для всех возможных значений случайной величины
. Таким образом, получаем табл. 6.1.

Таблица 6.1

Полученная табл. 6.1 в общем случае может не быть рядом распределения случайной величины , так как значения в верхней строке таблицы могут быть расположены в невозрастающем порядке, а некоторые
могут даже совпадать.

Для преобразования табл. 6.1 в ряд распределения случайной величины необходимо упорядочить возможные значения
по возрастанию, а вероятности совпадающих значений
нужно сложить.

Для нахождения числовых характеристик случайной величины преобразовывать (6.1) в ряд распределения нет необходимости, так как их можно вычислить по таблице (6.1). Действительно, находя сумму произведений возможных значений случайной величинына их вероятности, получаем

. (6.1)

Таким образом, зная только закон распределения аргумента
, можно найти математическое ожидание функции случайной величины.

Аналогично находим дисперсию случайной величины :

Аналогично определяем начальные и центральные моменты любых порядков случайной величины
:

Для непрерывной случайной величины
, имеющей плотность распределения
, получаем

;

;

Видим, что для нахождения числовых характеристик функции
вовсе не нужно знать ее закон распределения – достаточно знания закона распределения аргумента
.

Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин

В некоторых задачах числовые характеристики системы случайных величин
можно определить как функции числовых характеристик системы случайных величин
. В этом случае не требуется даже знание закона распределения аргумента, например совместную плотность распределения
, а достаточно иметь только числовые характеристики этой системы случайных величин. Для решения таких задач сформулированы следующие теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин:

1.
, 3.
,

2.
, 4.
,

где – неслучайная величина.

5. для любого числа слагаемых, как независимых, так и зависимых, коррелированных и некоррелированных.

6. Математическое ожидание от линейной комбинации случайных величин
равно той же линейной функции от математических ожиданий рассматриваемых случайных величин:

.

7. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме всех элементов корреляционной матрицы
этих случайных величин

.

Так как корреляционная матрица
симметрична относительно главной диагонали, на которой находятся дисперсии, то последнюю формулу перепишем в виде

.

Если случайные величины
не коррелированы , то справедлива теорема о сложении дисперсий:

.

8. Дисперсия линейной функции случайных величин определяется по формуле

.

9. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению математических ожиданий плюс ковариация

Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий

10. Дисперсия произведения независимых случайных величин

выражается формулой

Если случайные величины
независимые и центрированные, получаем

.

Закон распределения функции случайного аргумента

Есть непрерывная случайная величина
с плотностью распределения
, связанная со случайной величинойфункциональной зависимостью
. Требуется найти закон распределения случайной величиной.

Рассмотрим случай, когда
строго монотонна, непрерывна и дифференцируема на интервале
всех возможных значений случайной величиной
.

Функция распределения
случайной величинойпо определению есть
. Если функция
монотонно возрастает на участке всех возможных значений случайной величиной
, то событие
эквивалентно событию
, где
есть функция,обратная функции
. Когда случайная величина
принимает значения на участке
, то случайная точка
перемещается по кривой
(ордината полностью определяется абсциссой) (см. рис. 6.2). Из строгой монотонности
следует монотонность
, и поэтому функцию распределения случайной величинойможно записать следующим образом:

.

Дифференцируя это выражение по , входящему в верхний предел интеграла, получаем плотность распределения случайной величинойв виде

Если функция
на участке
возможных значений случайной величиной
монотонно убывает , то, проведя аналогичные выкладки, получаем

. (6.3)

Диапазон возможных значений случайной величиной
может быть в выражениях (6.2) и (6.3) от
до
.

Так как плотность распределения не может быть отрицательной, то формулы (6.2) и (6.3)можно объединить в одну

. (6.4)

Пример . Пусть функция случайной величины
является линейной, т. е.
, где
. Непрерывная случайная величина
имеет плотность распределения
, и тогда, используя выражение (6.4), найдем закон распределения
, учитывая, что обратная функция есть
, а модуль ее производной равен
,

. (6.5)

Если случайная величина
имеет нормальное распределение

,

то согласно (6.5) получаем

.

Это по-прежнему нормальный закон распределения с математическим ожиданием
, дисперсией
и средним квадратичным отклонением
.

В результате линейного преобразования нормально распределенной случайной величины
получаем случайную величину, также распределенную по нормальному закону.

Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения

Имеем систему двух непрерывных случайных величин
и их сумму – случайную величину
. Необходимо найти закон распределения случайной величины , если известна совместная плотность распределения системы
.

Функция распределения – это площадь области
на плоскости
, где выполняется неравенство
(см. рис. 6.3), т. е.

.

Продифференцировав это выражение по, получаем плотность распределения вероятности случайной величины

.

Учитывая симметрию слагаемых, можно записать аналогичное соотношение

.

Если случайные величины и
независимы, т. е. выполняется равенство, то две последние формулы примут вид:

; (6.6)

. (6.7)

В том случае, когда складываются независимые случайные величины и
, то говорят окомпозиции законов распределения . Для обозначения композиции законов распределения иногда применяется символьная запись:
.

Закон распределения называется устойчивым к композиции , если при композиции законов распределения этого типа получается снова тот же закон, но с другими значениями параметров. Например, если сложить две независимые нормальные случайные величины, то результирующая случайная величина будет иметь нормальный закон распределения, т. е. нормальный закон устойчив к композиции. Кроме нормального закона, устойчивыми к композиции являются законы распределения Эрланга, биноминальный, Пуассона.

16.1. Закон распределения функции одного случайного аргумента.

Начнем с рассмотрения наиболее простой задачи о законе распределения функции одного случайного аргумента. Так как для практики наибольшее значение имеют непрерывные случайные величины , будем решать задачу именно для них.

Имеется непрерывная случайная величина X с плотностью рас­пределения f (x ) . Другая случайная величина Y связана с нею функ­циональной зависимостью: .

Требуется найти плотность распределения величины Y . Рассмотрим участок оси абсцисс, на котором лежат все возможные значения величины X , т. е. .

Способ решения поставленной задачи зависит от поведения функ­ции на участке: является ли она монотонной или нет.

В данном параграфе мы рассмотрим случай, когда функция на участке монотонна. При этом отдельно проанализируем два случая: монотонного возрастания и монотонного убывания функции.

1. Функция на участке монотонно возрастает (рис. 6.1.1). Когда величина X принимает различные значения на

участке, случайная точка (X , Y ) перемещается только по кривой; ордината этой случайной точки полностью опре­деляется ее абсциссой.

Обозначим плотность распределения величины Y . Для того чтобы определить, найдем сначала функцию распределения величины Y : .

Проведем прямую АВ , парал­лельную оси абсцисс на расстоянии y от нее(рис. 6.1.1). Чтобы выполнялось условие, случайная точка (X , Y ) должна попасть на тот участок кривой, который лежит ниже прямой АВ ; для этого необходимо и достаточно, чтобы случайная величина X попала на участок оси абсцисс от a до x , где x - абсцисса точки пересечения кривой и прямой АВ . Следовательно,

(6.1.1) Так, как монотонная на участке, то существует обратная однозначная функция. Тогда

(6.1.2) Дифференцируя интеграл (6.1.2) по переменной у , входящей в верх­ний предел, получим:

(6.1.3) 2. Функция на участке монотонно убывает (рис. 6.1.2). В этом случае

(6.1.4) откуда

(6.1.5) Сравнивая формулы (6.1.3) и (6.1.5), замечаем, что они могут быть объединены в одну:

(6.1.6)

Действительно, когда возрастает, ее производная (а значит, и) положительна. При убывающей функции производная отрица­тельна, но зато перед ней в формуле (6.1.5) стоит минус. Следо­вательно, формула (6.1.6), в которой производная берется по модулю, верна в обоих случаях.

3. Рассмотрим случай когда функция на участке возможных значений аргумента не монотонна (рис. 6.1.3).

Найдем функцию распределения G (y ) величины Y . Для этого снова проведем прямую АВ , параллельную оси абсцисс, на расстоянии у от нее и выделим те участки кривой, на которых выпол­няется условие. Пусть этим участкам соответствуют участки оси абсцисс: .

Событие равносильно попаданию случайной величины X на один из участков - безразлично, на какой именно. Поэтому

(6.1.7) Таким образом, для функции распределения величины имеем формулу:

(6.1.8) Границы интервалов зависят от у и при заданном конкрет­ном виде функции могут быть выражены как явные функ­ции у . Дифференцируя G (y ) по величине у , входящей в пределы интегралов, получим плотность распределения величины Y :

(6.1.9) Пример . Величина X подчинена закону равномерной плотности на участке отдо.

Найти закон распределения величины.

Решение. Строим график функции (рис. 6.1.4). Очевидно, и в интервале функция немонотонна. Применяя формулу (6.1.8), имеем:

Выразим пределы и через у : ; . Тогда

.(6.1.10) Чтобы найти плотность g (у ) продифференцируем это выражение по переменной у , входящей в пределы интегралов, получим:

Имея в виду, что , получим:

(6.1.11) Указывая для Y закон распределения (6.1.11), следует оговорить, что он действителен лишь в пределах от 0 до 1, т.е. в тех пределах, в которых изменяется при аргументе X , заключенном в интервале от, до. Вне этих пределов плотность g (у )равна нулю.

График функции g (у ) дан на рис.6.1.5. При у =1 кривая g (у) имеет ветвь, уходящую на бесконечность.

26.2. Закон распределения функции двух случайных величин.

Изложим общий метод решения задачи для наиболее простого случая функции двух аргументов.

Имеется система двух непрерывных случайных ве­личин (X , Y ) с плотностью распределения f (x , y ) . Слу­чайная величина Z связана с X и Y функциональной зависимостью:

Требуется найти закон распределения величины Z.

Для решения задачи вос­пользуемся геометрической интерпретацией. Функия изобразится уже не кривой, а поверхностью (рис. 6.2.1).

Найдем функцию распределения величины Z:

(6.2.1) Проведем плоскость Q, параллельную плоскости хОу , на расстоя­нии z от нее. Эта плоскость пересечет поверхность по некоторой кривой К . Спроектируем кривую К на плоскость хОу . Эта проекция, уравнение которой, разделит плоскость хОу на две области; для одной из них высота поверхности над пло­скостью хОу будет меньше, а для другой - больше z . Обозначим D ту область, для которой эта высота меньше z . Чтобы выполнялось неравенство (6.2.1), случайная точка (X , Y ) очевидно, должна по­пасть в область D ; следовательно,

(6.2.2) В выражение (6.2.2) величина z входит неявно, через пределы интегрирования.

Дифференцируя G (z ) по z , получим плотность распределения величины Z :

(6.2.3) Зная конкретный вид функции, можно выразить пре­делы интегрирования через z и написать выражение g (z ) в явном виде.

36.3. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения.

Воспользуемся изложенным выше общим методом для решения одной задачи, а именно для нахождения закона распределения суммы двух случайных величин. Имеется система двух случайных величин (X , Y ) с плотностью распределения f (x , у ) . Рассмотрим сумму случайных величин X и Y : и найдем закон распределения величины Z . Для этого построим на плоскости хОу линию, уравнение которой (рис. 6.3.1). Это - прямая, отсекающая на осях отрезки, равные z . Прямая делит плоскость хОу на две части ; правее и выше ее; левее и ниже

Область D в данном случае - левая нижняя часть пло­скости хОу , заштрихованная на рис. 6.3.1. Согласно формуле (6.3.2) имеем:

Дифференцируя это выражение по переменной z , входящей в верх­ний предел внутреннего интеграла, получим:

(6.3.1) Это - общая формула для плотности распределения суммы двух случайных величин.

Из соображений симметричности задачи относительно X и Y можно написать другой вариант той же формулы:

(6.3.2) который равносилен первому и может применяться вместо него.

Пример композиции нормальных законов . Рассмотрим две независимые случайные величины X и Y , подчи­ненные нормальным законам:

Требуется произвести композицию этих законов, т. е. найти закон распределения величины: .

Применим общую формулу для композиции законов рас­пределения:

(6.3.3) Если раскрыть скобки в показателе степени подынтегральной функции и привести подобные члены, получим:

Подставляя эти выражения в уже встречавшуюся нам формулу

(6.3.4) после преобразований получим:

(6.3.5) а это есть не что иное, как нормальный закон с центром рассеи­вания

(6.3.6) и среднеквадратическим отклонением

(6.3.7) К тому же выводу можно прийти значительно проще с помощью следующих качественных рассуждений.

Не раскрывая скобок и не производя преобразований в подынте­гральной функции (6.3.3), сразу приходим к выводу, что показатель степени есть квадратный трехчлен относительно х вида

где в коэффициент А величина z не входит совсем, в коэффициент В входит в первой степени, а в коэффициент С - в квадрате. Имея это в виду и применяя формулу(6.3.4), приходим к заключению, что g (z ) есть показательная функция, показатель степени которой - квадратный трехчлен относительно z , а плотность аспределения; такого вида соответствует нормальному закону. Таким образом, мы; приходим к чисто качественному выводу: закон распределения вели­чины z должен быть нормальным. Чтобы найти параметры этого закона - и - воспользуемся теоремой сложения математических ожиданий и теоремой сложения дисперсий. По теореме сложения математических ожиданий. По теореме сложения дисперсий или откуда следует формула (6.3.7).

Переходя от среднеквадратических отклонений к пропорциональным им вероятным отклонениям, получим: .

Таким образом, мы пришли к следующему правилу: при компо­зиции нормальных законов получается снова нормальный за­кон, причем математические ожидания и дисперсии (или квад­раты вероятных отклонений) суммируются.

Правило композиции нормальных законов может быть обобщено на случай произвольного числа независимых случайных величин.

Если имеется n независимых случайных величин: подчиненных нормальным законам с центрами рассеивания и среднеквадратическими отклонениями,то величина также подчинена нормальному закону с параметрами

(6.3.8) (6.3.9) Вместо формулы (6.3.9) можно применять равносильную ей формулу:

Если система случайных величин (X , Y ) распределена по нормальному закону, но величины X , Y зависимы, то нетрудно доказать, так же как раньше, исходя из общей формулы (6.3.1), что закон распределения величины есть тоже нормальный закон. Центры рассеивания по-прежнему складываются алгебраически, но для среднеквадратических отклонений правило становится более сложным: , где, r - коэффициент корреляции величин X и Y .

При сложении нескольких зависимых случайных величин, подчиненных в своей совокупности нормальному закону, закон распределения суммы также оказывается нормальным с параметрами

(6.3.10)(6.3.11) или в вероятных отклонениях

где - коэффициент корреляции величин X i , X j , а суммирование распространяется на все различные попарные комбинации величин.

Мы убедились в весьма важном свойстве нормального закона: при композиции нормальных законов получается снова нормальный закон. Это - так называемое «свойство устойчивости». Закон распределения называется устойчивым, если при композиции двух законов этого типа получается снова закон того же типа. Выше мы показали, что нормальный закон является устойчивым. Свойством устойчивости обладают весьма немногие законы распределения. Закон равномерной плотности неустойчив: при композиции двух законов равномерной плотности на участках от 0 до 1 мы получили закон Симпсона.

Устойчивость нормального закона - одно из существенных условий его широкого распространения на практике. Однако свойством устойчивости, кроме нормального, обладают и некоторые другие законы распределения. Особенностью нор­мального закона является то, что при композиции достаточно боль­шого числа практически произвольных законов распределения суммарный закон оказывается сколь угодно близок к нормальному вне зависимости от того, каковы были законы распределения слагаемых. Это можно проиллюстрировать , например, составляя композицию трех законов равномерной плотности на уча­стках от 0 до 1. Получающийся при этом закон распределения g (z ) изображен на рис. 6.3.1. Как видно из чертежа, график функции g (z ) весьма напоминает график нормального закона.

46.4. Распределение произведения.

Пусть, где и - скалярные случайные величины с совместной плотностью распределения. Найдем распределение Y .

(6.4.1)

На рис. событие показано штриховкой. Теперь очевидно, что

5(6.4.2) (6.4.3) 6.5. Распределение квадрата случайной величины.

Пусть; X - непрерыная случайная величина с плотностью. Найдем. Если, то и. В том случае, когда получаем:

(6.5.1) (6.5.2) В частном случае, когда, имеем:

(6.5.3) Если при этом, то

6(6.5.4) 6.6. Распределение частного.

Пусть; X - непрерывная случайная величина с плотностью. Найдем.

(6.6.1)

На рис. 6.6.1 видно, что событие - изображают заштрихованные области. Поэтому

(6.6.2) (6.6.3) Если; ; независимы, то легко получить:

(6.6.4) Распределение (6.6.4) носит имя Коши. Оказывается, это распределение не имеет математического ожидания и дисперсии.

76.7. Числовые характеристики функций случайных величин.

Рассмотрим следующую задачу: случайная величина Y есть функция нескольких случайных величин;

(6.7.1) Пусть нам известен закон распределения системы аргументов;требуется найти числовые характеристики вели­чины Y , в первую очередь-математическое ожидание и дисперсию.

Представим себе, что нам удалось найти закон распределения g (у) величины Y . Тогда задача об определении числовых характеристик становится простой; они находятся по формулам:

(6.7.2) (6.7.3) Однако задача нахождения закона распределения g (y ) ве­личины Y часто оказывается довольно сложной. Для решения поставленной задачи нахождение закона распределения величины Y не нужно: чтобы найти только числовые характеристики величины Y , нет надобности знать ее закон распределения; достаточно знать закон распределения аргументов.

Таким образом, возникает задача определения числовых характе­ристик функций случайных величин, не определяя законов распре­деления этих функций.

Рассмотрим задачу об определении числовых характеристик функ­ции при заданном законе распределения аргументов. Начнем с самого простого случая - функции одного аргумента.

Имеется случайная величина X с заданным законом распределе­ния; другая случайная величина Y связана с X функциональной за­висимостью: Y = (Х ).

Требуется, не находя закона распределения величины Y , опреде­лить ее математическое ожидание:

(6.7.4) Рассмотрим сначала случай, когда X есть дискретная случайная величина с рядом распределения:

x i X 1 x 2 …x n p i P 1 p 2 …p n Запишем в виде таблицы возможные значения величины Y и вероятности этих значений:

(x i ) (x 1 ) (x 2 ) …(x n )p i P 1 P 2 …p n Таблица 6.7.2 не является рядом распре­деления величины Y , так как в общем случае некоторые из значений

(6.7.5) могут совпадать между собой. Для того чтобы от таблицы (6.7.1) перейти к подлинному ряду распределения величины Y , нужно было бы расположить значения (6.7.5) в порядке возрастания, объединить столбцы, соответствую­щие равным между собой значениям Y , и сложить соответствующие вероятности. Математическое ожидание величины Y можно определить по формуле

(6.7.6) Очевидно, величина т у - М ((Х )), определяемая по формуле (6.7.6), не может измениться от того, что под знаком суммы некоторые члены будут объединены заранее, а порядок членов изменен.

В формуле (6.7.6) для математического ожидания функции не содержится в явном виде закона распределения самой функции, а содержится только закон распределения аргумента. Таким образом, для определения математического ожидания функции вовсе не требуется знать закон распределения этой функции , а доста ­ точно знать закон распределения аргумента .

Заменяя в формуле (6.7.6) сумму интегралом, а вероятность р i - элементом вероятности, получим аналогичную формулу для непрерыв­ной случайной величины:

(6.7.7) где f (x ) X .

Аналогично может быть определено математическое ожидание функции у (Х , Y ) от двух случайных аргументов X и Y . Для дискретных величин

(6.7.8) где - вероятность того, что система (X , Y )примет значения (x i y j ). Для непрерывных величин

(6.7.9) где f (x , у )- плотность распределения системы (X , Y ).

Аналогично определяется математическое ожидание функции от произвольного числа случайных аргументов. Приведем соответствующую формулу только для непрерывных величин:

(6.7.10) где - плотность распределения системы.

Формулы типа (6.7.10) весьма часто встречаются в практическом применении теории вероятностей, когда речь идет об осреднении каких-либо величин, зависящих от ряда случайных аргументов.

Таким образом, математическое ожидание функции любого числа случайных аргументов может быть найдено помимо закона распреде­ления функции. Аналогично могут быть найдены и другие числовые характеристики функции - моменты различных порядков. Так как каждый момент представляет собой математическое ожидание некоторой функции исследуемой случайной величины, то вычисление любого момента может быть осуществлено приемами, совершенно аналогич­ными вышеизложенным. Здесь мы приведем расчетные формулы только для дисперсии , причем лишь для случая непрерывных случайных аргументов.

Дисперсия функции одного случайного аргумента выражается формулой

(6.7.11) где т = М [(x )] - математическое ожидание функции (X );f (х ) - плотность распределения величины X .

Аналогично выражается дисперсия функции двух случайных аргументов:

(6.7.12) где - математическое ожидание функции (Х , Y ); f (x , у) - плотность распределения системы (X , Y ). Наконец, в случае произвольного числа случайных аргументов, в аналогичных обозначениях.